如何学习SVM（支持向量机）以及改进实现SVM算法程序

※鱼鱼╰☆

雷锋网 AI 科技评论按，本文为韦易笑在知乎问题如何学习SVM（支持向量机）以及改进实现SVM算法程序下面的回复，雷锋网 AI 科技评论获其授权转载。以下为正文：
学习 SVM 的最好方法是实现一个 SVM，可讲理论的很多，讲实现的太少了。
假设你已经读懂了 SVM 的原理，并了解公式怎么推导出来的，比如到这里：

SVM 的问题就变成：求解一系列满足约束的 alpha 值，使得上面那个函数可以取到最小值。然后记录下这些非零的 alpha 值和对应样本中的 x 值和 y 值，就完成学习了，然后预测的时候用：

上面的公式计算出 f(x) ，如果返回值 > 0 那么是 +1 类别，否则是 -1 类别，先把这一步怎么来的，为什么这么来找篇文章读懂，不然你会做的一头雾水。
- d; ]/ Y8 D! S. M7 J+ O8 V( s那么剩下的 SVM 实现问题就是如何求解这个函数的极值。方法有很多，我们先找个起点，比如 Platt 的 SMO 算法，它后面有伪代码描述怎么快速求解 SVM 的各个系数。
第一步：实现传统的 SMO 算法
% s0 t, H; q) W现在大部分的 SVM 开源实现，源头都是 platt 的 smo 算法，读完他的文章和推导，然后照着伪代码写就行了，核心代码没几行：
procedure takeStep(i1,i2)
if (i1 == i2) return 0
! z0 e  M, a; D  | alph1 = Lagrange multiplier for i1
5 C9 [! Y$ ~' F4 Y. J8 @
5 {$ }& g4 \. C+ b9 O, ^y1 = target[i1]

E1 = SVM output on point[i1] – y1 (check in error cache)
( d& `0 K' _$ w+ [
s = y1*y2
: ]5 ?  s- ?9 e. M9 A
: _, O  X! g7 k- P3 p3 TCompute L, H via equations (13) and (14)
2 m  d$ U$ V) n8 d* {+ L, S5 ]/ w
1 y  y* G; B# k1 w9 ~if (L == H)

8 R' x7 {0 J6 e& q4 H, Ereturn 0

k11 = kernel(point[i1],point[i1])

: t  p! p0 J) B: h  D+ Mk12 = kernel(point[i1],point[i2])

3 a: b, _' b% p' q8 {: `, Nk22 = kernel(point[i2],point[i2])

eta = k11+k22-2*k12

if (eta > 0)
5 y+ a- L; X, P4 M: I+ \" f
/ R! S, w8 B. Y6 G7 y9 f% N8 c4 Q{
" ?5 Z3 Z! H1 p3 N
! j4 J5 _8 R3 a/ k. wa2 = alph2 + y2*(E1-E2)/eta

if (a2 < L) a2 = L
7 |+ o+ C5 G: a* l& G
7 u2 T% S2 T/ pelse if (a2 > H) a2 = H
4 f! K2 g; P6 _/ f
( E) ?4 u( i5 q  J1 f4 s}
& T& A# B$ m+ m; t, s/ j2 J
else

4 g: t3 w' s# g! J9 O( d" g' p{

$ P' P3 P) a) X  @$ h3 iLobj = objective function at a2=L

2 Q9 o# \" Z7 n' a; k4 N8 h5 j* ZHobj = objective function at a2=H
, W9 N6 t% G9 E9 s# s5 Z  {
+ i( o- w0 V! V& c" nif (Lobj < Hobj-eps)

4 \9 K( \9 Z. d7 Y- b0 S3 Q" Va2 = L
! r- z1 K* \0 l* [/ t; K3 j. K7 I2 ^
" O5 _0 `; B6 q# t0 q$ c; helse if (Lobj > Hobj+eps)
, I' w$ n3 j/ P3 K2 x6 {6 \# p
4 f+ p  `: O! Xa2 = H
6 f0 Q0 k; ?+ j7 j+ w
else

a2 = alph2
9 i2 I8 m$ Q* n0 j# v) n3 N
}
5 I/ U7 C, y% O$ T0 _
if (|a2-alph2| < eps*(a2+alph2+eps))
8 f# |5 G* L' C# }5 g& _
return 0
9 ~$ d) n) R7 M: R# H; {; e: c
a1 = alph1+s*(alph2-a2)
. d; R7 n/ B6 j, K2 F4 v
( q5 N6 R8 {& W  |8 V. A, GUpdate threshold to reflect change in Lagrange multipliers
0 M2 S! c7 Z  J. ?' |* w
5 b' g( z9 M9 s& w. E- j2 JUpdate weight vector to reflect change in a1 & a2, if SVM is linear
, e; O" d/ b# t; K4 _7 X
, \8 X8 d7 E( d  C2 C- U" iUpdate error cache using new Lagrange multipliers

  f8 ^2 x" @" O( mStore a1 in the alpha array

Store a2 in the alpha array

  L, }) f5 @" @return 1
endprocedure
3 `( }& Q0 |" n0 H) I2 u9 \. t核心代码很紧凑，就是给定两个 ai, aj，然后迭代出新的 ai, aj 出来，还有一层循环会不停的选择最需要被优化的系数 ai, aj，然后调用这个函数。如何更新权重和 b 变量（threshold）文章里面都有说，再多调试一下，可以用 python 先调试，再换成 C/C++，保证得到一个正确可用的 SVM 程序，这是后面的基础。
第二步：实现核函数缓存
- l' Q' t5 v, z6 I+ C观察下上面的伪代码，开销最大的就是计算核函数 K(xi, xj)，有些计算又反复用到，一个 100 个样本的数据集求解，假设总共要调用核函数 20 万次，但是 xi, xj 的组和只有 100x100=1 万种，有缓存的话你的效率可以提升 20 倍。
$ |0 B* X+ J. h6 N% s4 ^; j样本太大时，如果你想存储所有核函数的组和，需要 N*N * sizeof(double) 的空间，如果训练集有 10 万个样本，那么需要 76 GB 的内存，显然是不可能实现的，所以核函数缓存是一个有限空间的 LRU 缓存，SVM 的 SMO 求解过程中其实会反复用到特定的几个有限的核函数求解，所以命中率不用担心。
有了这个核函数缓存，你的 SVM 求解程序能瞬间快几十倍。
+ H2 P5 Y' k0 m2 @+ x' k* G, H第三步：优化误差值求解
* Y7 g: S8 v" H1 X2 @/ J5 A注意看上面的伪代码，里面需要计算一个估计值和真实值的误差 Ei 和 Ej，他们的求解方法是：
E(i) = f(xi) - yi
这就是目前为止 SMO 这段为代码里代价最高的函数，因为回顾下上面的公式，计算一遍 f(x) 需要 for 循环做乘法加法。
platt 的文章建议是做一个 E 函数的缓存，方便后面选择 i, j 时比较，我看到很多入门版本 SVM 实现都是这么做。其实这是有问题的，后面我们会说到。最好的方式是定义一个 g(x) 令其等于：
1 u4 H5 ^8 T8 E
$ }" k7 E5 G2 _也就是 f(x) 公式除了 b 以外前面的最费时的计算，那么我们随时可以计算误差：
E(j) = g(xj) + b - yj
3 i# z2 U& t" J/ p5 N& l所以最好的办法是对 g(x) 进行缓存，platt 的方法里因为所有 alpha 值初始化成了 0，所以 g(x) 一开始就可以全部设置成 0，稍微观察一下 g(x) 的公式，你就会发现，因为去掉了 b 的干扰，而每次 SMO 迭代更新 ai, aj 参数时，这两个值都是线性变化的，所以我们可以给 g(x) 求关于 a 的偏导，假设 ai，aj 变化了步长 delta，那么所有样本对应的 g(x) 加上 delta 乘以针对 ai, aj 的偏导数就行了，具体代码类似：
double Kik = kernel(i, k);
double Kjk = kernel(j, k);
G[k] += delta_alpha_i * Kik * y + delta_alpha_j * Kjk * y[j];
1 Z" w! k! t6 `! x" b把这段代码放在 takeStep 后面，每次成功更新一对 ai, aj 以后，更新所有样本对应的 g(x) 缓存，这样通过每次迭代更新 g(x) 避免了大量的重复计算。
这其实是很直白的一种优化方式，我查了一下，有人专门发论文就讲了个类似的方法。
  L$ B: `! n; u% {& n第四步：实现冷热数据分离
4 ]0 U: W+ K9 `0 z: F" zPlatt 的文章里也证明过一旦某个 alpha 出于边界（0 或者 C）的时候，就很不容易变动，而且伪代码也是优先在工作集里寻找 > 0 and < C 的 alpha 值进行优化，找不到了，再对工作集整体的 alpha 值进行迭代。
4 r( A' N- Y( p+ `& H, C7 C" M+ N4 S$ G那么我们势必就可以把工作集分成两个部分，热数据在前（大于 0 小于 C 的 alpha 值），冷数据在后（小于等于 0 或者大于等于 C 的 alpha）。
3 P& Y5 b; f6 X/ e随着迭代加深，会发现大部分时候只需要在热数据里求解，并且热数据的大小会逐步不停的收缩，所以区分了冷热以后 SVM 大部分都在针对有限的热数据迭代，偶尔不行了，再全部迭代一次，然后又回到冷热迭代，性能又能提高不少。
6 p" i/ [9 n! q  v5 k第五步：支持 Ensemble
& z5 h9 N4 a- N6 l9 r0 b大家都知道，通过 Ensemble 可以让多个不同的弱模型组和成一个强模型，而传统 SVM 实现并不能适应一些类似 AdaBoost 的集成方法，所以我们需要做一些改动。可以让外面针对某一个分类传入一个“权重”过来，修正 SVM 的识别结果。
最传统的修改方式就是将不等式约束 C 分为 Cp 和 Cn 两个针对 +1 分类的 C 及针对 -1 分类的 C。修改方式是直接用原始的 C 乘以各自分类的权重，得到 Cp 和 Cn，然后迭代时，不同的样本根据它的 y 值符号，用不同的 C 值带入计算。
' u: ^( W: ~5 I# t1 y3 g  O- p% ?+ ?这样 SVM 就能用各种集成方法同其他模型一起组成更为强大精准的模型了。
实现到这一步你就得到了功能上和性能上同 libsvm 类似的东西，接下来我们继续优化。
9 @! ]+ @" j% X* d第六步：继续优化核函数计算
核函数缓存非常消耗内存，libsvm 数学上已经没得挑了，但是工程方面还有很大改进余地，比如它的核缓存实现。
由于标准 SVM 核函数用的是两个高维矢量的内积，根据内积的几个条件，SVM 的核函数又是一个正定核，即 K(xi, xj) = K(xj, xi)，那么我们同样的内存还能再多存一倍的核函数，性能又能有所提升。
针对核函数的计算和存储有很多优化方式，比如有人对 NxN 的核函数矩阵进行采样，只计算有限的几个核函数，然后通过插值的方式求解出中间的值。还有人用 float 存储核函数值，又降低了一倍空间需求。
第七步：支持稀疏向量和非稀疏向量
7 ]! Y9 w4 B2 t对于高维样本，比如文字这些，可能有上千维，每个样本的非零特征可能就那么几个，所以稀疏向量会比较高效，libsvm 也是用的稀疏向量。
但是还有很多时候样本是密集向量，比如一共 200 个特征，大部分样本都有 100个以上的非零特征，用稀疏向量存储的话就非常低效了，openCV 的 SVM 实现就是非稀疏向量。
非稀疏向量直接是用数组保存样本每个特征的值，在工程方面就有很多优化方式了，比如用的最多的求核函数的时候，直接上 SIMD 指令或者 CUDA，就能获得更好的计算性能。
所以最好的方式是同时支持稀疏和非稀疏，兼顾时间和空间效率，对不同的数据选择最适合的方式。
& M, x7 N. W  ^! |. q( O4 @. k第八步：针对线性核进行优化
传统的 SMO 方法，是 SVM 的通用求解方法，然而针对线性核，就是：
K(xi, xj) = xi . xj
还有很多更高效的求解思路，比如 Pegasos 算法就用了一种类似随机梯度下降的方法，快速求 SVM 的解权重 w，如果你的样本适合线性核，使用一些针对性的非 SMO 算法可以极大的优化 SVM 求解，并且能处理更加庞大的数据集，LIBLINEAR 就是做这件事情的。
  n$ b9 T4 p2 r3 \  Y* c同时这类算法也适合 online 训练和并行训练，可以逐步更新增量训练新的样本，还可以用到多核和分布式计算来训练模型，这是 SMO 算法做不到的地方。
# O2 ]2 t/ F4 z但是如果碰到非线性核，权重 w 处于高维核空间里（有可能无限维），你没法梯度下降迭代 w，并且 pegasos 的 pdf 里面也没有提到如何用到非线性核上，LIBLINEAR 也没有办法处理非线性核。
* {( h3 L0 Z! }) q6 W' H或许哪天出个数学家又找到一种更好的方法，可以用类似 pegasos 的方式求解非线性核，那么 SVM 就能有比较大的进展了。
后话
上面八条，你如果实现前三条，基本就能深入理解 SVM 的原理了，如果实现一大半，就可以得到一个类似 libsvm 的东西，全部实现，你就能得到一个比 libsvm 更好用的 SVM 库了。
上面就是如何实现一个相对成熟的 SVM 模型的思路，以及配套优化方法，再往后还有兴趣，可以接着实现支持向量回归，也是一个很有用的东西。

来源：http://www.yidianzixun.com/article/0Lv0UIiC
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