两度出任总理的数学家：研究三体问题时，提出了难倒世人的猜想

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《三体》系列无疑是近年来国内最具影响力的科幻小说了，但你知道，曾有一位法国总理也研究过三体问题嘛？而且，他还提出了一个与三体问题密切相关的重要猜想，直到近百年后才被一位中国数学家部分解决……
数学领域的三体问题
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' f) u4 _' x: l, _+ r* O6 x- f0 i科幻小说《三体》的故事背景，是距离地球4光年的半人马座α星中，一个由3颗恒星和一颗行星构成的星系。在相互的引力作用下，这3颗恒星的运行轨道极不稳定，随时可能让唯一的行星进入极寒或极热的“乱纪元”、摧毁三体文明。为了脱离这三个“太阳”复杂的引力场环境，三体人企图侵略地球，拉开了这个故事的序幕。
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而在数学中，“三体问题”同样存在。这是一个与牛顿的万有引力相关的古典数学问题：如果有三个星体（无论恒星还是行星）通过万有引力相互吸引——这就好像三个人在一起谈恋爱，情况会变得十分复杂——大多数情景下这样的三体问题不存在解析解。也就是说，虽然方程可以写出来，但任何星体的运动轨迹却解不出来。
（此处已添加圈子卡片，请到今日头条客户端查看）1885年，瑞典国王奥斯卡二世悬赏了一大笔钱，他希望科学家能证明太阳系的稳定性。这个问题其实就是所谓的N体问题，N表示星体的数目。最简单的情况是N取2，那早已经被牛顿之前的开普勒所解决；如果N取3，就是三体问题。在这个意义上，小说中的“三体”，其实是数学上的四体问题，因为三体星系中不仅有三颗“太阳”，还有三体人居住的行星。
+ I1 G% b8 [. r, Y( _9 F9 A法国大数学家庞加莱参与了这个学术竞赛，他被誉为“最后一个既懂物理、又懂数学的百科全书式”数学家——他后来还在爱因斯坦之前研究过狭义相对论，相对论这个词就是他提出的。（所以在狭义相对论中存在“庞加莱变换”）庞加莱希望找出描述三体问题的“求根公式”。三体问题对应的是微分方程祖，他希望找到微分方程的通解，并且将这个解推广到N体问题。
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经过整整三年的努力，庞加莱发现这个三体问题无法被彻底解决。但庞加莱还是把自己3年来夙兴夜寐的研究成果寄到论文评审委员会，他在论文开头他沮丧地写道：“繁星是无法超越的。”庞加莱的论文虽然没有彻底解决三体问题，但他还是取得了重要进展——他发现了三体问题其实是一个混沌系统，而且在研究过程中他发展了微分方程的定性分析，这相当于把微分方程理论与拓扑学进行了结合。所以，他还是在1888年获得了瑞典国王提供的奖金。
' b$ a: [$ e' `' `4 n; c0 X3 `庞加莱的研究表明，三体问题中星体的运动轨道虽然解不出来，但这个轨道总体来说是禁不起微扰的，所以轨道不可以被长时间预测。这就好比天气也无法实现长期的预测，因为气象系统是混沌的。一般情景下的三体问题最后都会导致混沌，也就是说，我们无法预测某一个星体长时间的运动轨迹。
潘勒韦猜想

但这个事情还没完。与庞加莱同时代还有一个法国人也在研究三体问题，而且他的身份非常特殊。他不但是一位数学家，还曾经两度担任法国总理。这个人就是保罗·潘勒韦（Paul Painlevé，1863年－1933年）。
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​潘勒韦曾在著名的巴黎高等师范学校学习。获数学博士学位后，潘勒韦先后在里耳大学、巴黎大学等学校任教。在任教期间，他也参加了瑞典国王奥斯卡二世举办的学术比赛，研究三体问题。和庞加莱一样，潘勒韦也是通过微分方程研究三体问题。虽然潘勒维的学术成就没有庞加莱那么高，但也算颇有建树。
1 L" A' u8 v+ [- q% z) Q1895年，他在一次讲座中提出了一个猜想，历史上称为“潘勒韦猜想”（Painlevé conjecture）：在几个星体通过万有引力相互作用的情况下，可能出现这样一种情况，那就是其中某个星体有可能在有限时间内，被其他星体甩到无限远的地方去。潘勒韦的这个猜想指出了N体问题中的某种可能性，那么为什么一个星体可以被别的星体排挤呢？这与N体问题中复杂的引力有关。
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" S/ r. v# q' T) P, P; W这些星体之间存在万有引力。表面上看，引力让星体相互吸引，但就像荡秋千一样，如果秋千的摆长是周期性变化的，秋千可能越荡越高，最后荡秋千的人会飞出来。在潘勒维猜想中，也存在类似的情况：如果某个星体的速度很快，而且在运动过程中被复杂的引力场一次次地加速，那么它就很可能被甩到无限远处。（作为数学问题，这里只考虑经典的牛顿万有引力，不考虑相对论效应：星体的速度也可以大于光速。）
! O2 R( d8 u1 o3 ^( C- S( U# o9 x$ r部分解决
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0 Y4 w0 d9 `8 N' ]! d6 Y/ O潘勒韦自己提出了这个猜想，但解决不了。于是，他跑去当官了。1906年，潘勒韦当选为众议员，在内阁中任教育部长和发明部长。1917年，他担任了法国总理——虽然时间很短，但这已经是数学家出任政府官员的最高职位了。而在1925年，他再次出任法国总理。这种梅开二度的总理型数学家，历史上只有他一个。
* i7 w. {; I' s2 D! B) \（此处已添加圈子卡片，请到今日头条客户端查看）但潘勒韦猜想却成为数学界的一个经典猜想，一直悬而未决。直到近100年后，来自中国的数学家夏志宏在美国西北大学读博期间，证明了在至少5颗星体存在的情况下，潘勒韦描述的场景是可以成立的。这相当于证明了N≥5时，“潘勒韦猜想”是正确的。他的相关论文发表在1992年的《数学年鉴》上。

. R& [* S7 Y; T: j- c/ s% j图示夏志宏证明5体问题的“潘勒韦猜想”的论文。而四体问题的潘勒韦猜想，也就是小说《三体》中的设定，至今还没有解决。

博科园｜文：张华
转自：环球科学/huanqiukexue
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