如何学习SVM（支持向量机）以及改进实现SVM算法程序

※鱼鱼╰☆

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, H, l1 k/ R: _1 |学习 SVM 的最好方法是实现一个 SVM，可讲理论的很多，讲实现的太少了。
, E) Y) h5 M( U假设你已经读懂了 SVM 的原理，并了解公式怎么推导出来的，比如到这里：

. Y5 N7 H" s( V" d0 GSVM 的问题就变成：求解一系列满足约束的 alpha 值，使得上面那个函数可以取到最小值。然后记录下这些非零的 alpha 值和对应样本中的 x 值和 y 值，就完成学习了，然后预测的时候用：
/ O+ M4 R% b4 p; Z5 |+ [: ]4 `
上面的公式计算出 f(x) ，如果返回值 > 0 那么是 +1 类别，否则是 -1 类别，先把这一步怎么来的，为什么这么来找篇文章读懂，不然你会做的一头雾水。
那么剩下的 SVM 实现问题就是如何求解这个函数的极值。方法有很多，我们先找个起点，比如 Platt 的 SMO 算法，它后面有伪代码描述怎么快速求解 SVM 的各个系数。
第一步：实现传统的 SMO 算法
现在大部分的 SVM 开源实现，源头都是 platt 的 smo 算法，读完他的文章和推导，然后照着伪代码写就行了，核心代码没几行：
procedure takeStep(i1,i2)
8 F: j% l7 \9 w, q( }, t6 h if (i1 == i2) return 0
$ I( k' u/ m0 T9 Y( I* y! Y) T4 _ alph1 = Lagrange multiplier for i1
+ m7 A9 ]1 s6 K7 Y
* s/ j1 A6 f0 F: p" N  H: ^9 ]y1 = target[i1]
$ R& A1 E! p: V2 |3 A$ \
E1 = SVM output on point[i1] – y1 (check in error cache)
  K& h: p: V3 J" _* K* M
s = y1*y2
3 W5 \1 g8 k" K1 A5 S
Compute L, H via equations (13) and (14)

if (L == H)
; F! X/ \3 Q+ i+ g* R
return 0
# I3 y+ s( N+ ]# r) C& d& E4 T" e  w
k11 = kernel(point[i1],point[i1])
1 N2 V. U9 N$ T( D
7 y' e! T: f/ Y- f' {. p/ Ok12 = kernel(point[i1],point[i2])

k22 = kernel(point[i2],point[i2])

eta = k11+k22-2*k12
5 d  e: \8 v* i
if (eta > 0)
! J: E" G* y1 g/ t5 g  R. e
{
( A% R& V' u% F6 U0 _: u) T
a2 = alph2 + y2*(E1-E2)/eta

6 K0 a! Q+ ~0 i2 [6 b  X/ Bif (a2 < L) a2 = L

else if (a2 > H) a2 = H

}

, ^' D% ^5 k" O: C8 Melse
, @+ P$ B4 k' `5 F# f
; E( O* G3 R+ G2 V$ Q- W{
' C) S6 q3 L, s# r: Y
Lobj = objective function at a2=L
5 ~+ c, L$ c+ ~" B' l7 p' |* M
Hobj = objective function at a2=H

if (Lobj < Hobj-eps)
9 {. w4 C. ~" q2 u" t' m1 d
a2 = L

, m- \& a8 X+ R+ w, Y& a" yelse if (Lobj > Hobj+eps)
7 D* s+ i) f. x0 t) l( n' {
a2 = H

else
3 Z4 H4 J) }2 t* Z9 f6 M9 @
a2 = alph2
, H- n! z  _/ t+ c$ s
, v+ i" \' \: i9 q}

$ u* g1 E2 n5 q# n, G% ^- wif (|a2-alph2| < eps*(a2+alph2+eps))

return 0

" [5 R, p/ F- ?1 B; d7 ^a1 = alph1+s*(alph2-a2)

, [! H$ o# d+ N/ H1 tUpdate threshold to reflect change in Lagrange multipliers
! @8 U# n# _6 c+ W1 ?
Update weight vector to reflect change in a1 & a2, if SVM is linear
+ w. }. z$ n, Q6 i' i) e
Update error cache using new Lagrange multipliers
# J" N7 ?! m5 [$ K, E9 W- ^
Store a1 in the alpha array

Store a2 in the alpha array

$ L! I+ |5 [' Z: G6 O' k" f5 T: qreturn 1
endprocedure
核心代码很紧凑，就是给定两个 ai, aj，然后迭代出新的 ai, aj 出来，还有一层循环会不停的选择最需要被优化的系数 ai, aj，然后调用这个函数。如何更新权重和 b 变量（threshold）文章里面都有说，再多调试一下，可以用 python 先调试，再换成 C/C++，保证得到一个正确可用的 SVM 程序，这是后面的基础。
9 U. Q1 J8 L8 [# V9 G* D第二步：实现核函数缓存
观察下上面的伪代码，开销最大的就是计算核函数 K(xi, xj)，有些计算又反复用到，一个 100 个样本的数据集求解，假设总共要调用核函数 20 万次，但是 xi, xj 的组和只有 100x100=1 万种，有缓存的话你的效率可以提升 20 倍。
样本太大时，如果你想存储所有核函数的组和，需要 N*N * sizeof(double) 的空间，如果训练集有 10 万个样本，那么需要 76 GB 的内存，显然是不可能实现的，所以核函数缓存是一个有限空间的 LRU 缓存，SVM 的 SMO 求解过程中其实会反复用到特定的几个有限的核函数求解，所以命中率不用担心。
有了这个核函数缓存，你的 SVM 求解程序能瞬间快几十倍。
( ^  P6 a6 C# T4 a第三步：优化误差值求解
注意看上面的伪代码，里面需要计算一个估计值和真实值的误差 Ei 和 Ej，他们的求解方法是：
& _8 o# S1 ?' {9 U7 G( xE(i) = f(xi) - yi
这就是目前为止 SMO 这段为代码里代价最高的函数，因为回顾下上面的公式，计算一遍 f(x) 需要 for 循环做乘法加法。
platt 的文章建议是做一个 E 函数的缓存，方便后面选择 i, j 时比较，我看到很多入门版本 SVM 实现都是这么做。其实这是有问题的，后面我们会说到。最好的方式是定义一个 g(x) 令其等于：

也就是 f(x) 公式除了 b 以外前面的最费时的计算，那么我们随时可以计算误差：
/ y; A) n1 D- M+ \: }E(j) = g(xj) + b - yj
所以最好的办法是对 g(x) 进行缓存，platt 的方法里因为所有 alpha 值初始化成了 0，所以 g(x) 一开始就可以全部设置成 0，稍微观察一下 g(x) 的公式，你就会发现，因为去掉了 b 的干扰，而每次 SMO 迭代更新 ai, aj 参数时，这两个值都是线性变化的，所以我们可以给 g(x) 求关于 a 的偏导，假设 ai，aj 变化了步长 delta，那么所有样本对应的 g(x) 加上 delta 乘以针对 ai, aj 的偏导数就行了，具体代码类似：
double Kik = kernel(i, k);
, L  @  n- m& ]6 Sdouble Kjk = kernel(j, k);
6 D/ k6 c5 Q4 |5 v2 A, yG[k] += delta_alpha_i * Kik * y + delta_alpha_j * Kjk * y[j];
, N2 U/ I, T! ^3 ?( J% W, Z* R把这段代码放在 takeStep 后面，每次成功更新一对 ai, aj 以后，更新所有样本对应的 g(x) 缓存，这样通过每次迭代更新 g(x) 避免了大量的重复计算。
这其实是很直白的一种优化方式，我查了一下，有人专门发论文就讲了个类似的方法。
/ `$ R9 }2 A; n第四步：实现冷热数据分离
5 T6 `6 M9 X; u. C4 |, EPlatt 的文章里也证明过一旦某个 alpha 出于边界（0 或者 C）的时候，就很不容易变动，而且伪代码也是优先在工作集里寻找 > 0 and < C 的 alpha 值进行优化，找不到了，再对工作集整体的 alpha 值进行迭代。
3 [/ _5 l( ^$ h那么我们势必就可以把工作集分成两个部分，热数据在前（大于 0 小于 C 的 alpha 值），冷数据在后（小于等于 0 或者大于等于 C 的 alpha）。
% Q, \2 J2 g- o: C9 c随着迭代加深，会发现大部分时候只需要在热数据里求解，并且热数据的大小会逐步不停的收缩，所以区分了冷热以后 SVM 大部分都在针对有限的热数据迭代，偶尔不行了，再全部迭代一次，然后又回到冷热迭代，性能又能提高不少。
; E5 A  |, m5 f& j" N2 v第五步：支持 Ensemble
) `; R4 l9 M  `* @$ c8 @% \% U3 S  Y( X; }大家都知道，通过 Ensemble 可以让多个不同的弱模型组和成一个强模型，而传统 SVM 实现并不能适应一些类似 AdaBoost 的集成方法，所以我们需要做一些改动。可以让外面针对某一个分类传入一个“权重”过来，修正 SVM 的识别结果。
最传统的修改方式就是将不等式约束 C 分为 Cp 和 Cn 两个针对 +1 分类的 C 及针对 -1 分类的 C。修改方式是直接用原始的 C 乘以各自分类的权重，得到 Cp 和 Cn，然后迭代时，不同的样本根据它的 y 值符号，用不同的 C 值带入计算。
4 u4 Y. l- e; a4 ^$ f这样 SVM 就能用各种集成方法同其他模型一起组成更为强大精准的模型了。
* z  k" l. [* k% y. n+ F实现到这一步你就得到了功能上和性能上同 libsvm 类似的东西，接下来我们继续优化。
) W' X, h% k" g* r6 _1 k第六步：继续优化核函数计算
8 r& S6 `" X; x: S3 Q  N6 S7 r* P1 P核函数缓存非常消耗内存，libsvm 数学上已经没得挑了，但是工程方面还有很大改进余地，比如它的核缓存实现。
由于标准 SVM 核函数用的是两个高维矢量的内积，根据内积的几个条件，SVM 的核函数又是一个正定核，即 K(xi, xj) = K(xj, xi)，那么我们同样的内存还能再多存一倍的核函数，性能又能有所提升。
9 G! l6 `; B; L; _针对核函数的计算和存储有很多优化方式，比如有人对 NxN 的核函数矩阵进行采样，只计算有限的几个核函数，然后通过插值的方式求解出中间的值。还有人用 float 存储核函数值，又降低了一倍空间需求。
6 d( d/ \: z& E+ u! M3 S第七步：支持稀疏向量和非稀疏向量
对于高维样本，比如文字这些，可能有上千维，每个样本的非零特征可能就那么几个，所以稀疏向量会比较高效，libsvm 也是用的稀疏向量。
但是还有很多时候样本是密集向量，比如一共 200 个特征，大部分样本都有 100个以上的非零特征，用稀疏向量存储的话就非常低效了，openCV 的 SVM 实现就是非稀疏向量。
* h- g' i. u1 U. V- M6 `! a  q8 Z+ u非稀疏向量直接是用数组保存样本每个特征的值，在工程方面就有很多优化方式了，比如用的最多的求核函数的时候，直接上 SIMD 指令或者 CUDA，就能获得更好的计算性能。
所以最好的方式是同时支持稀疏和非稀疏，兼顾时间和空间效率，对不同的数据选择最适合的方式。
3 \2 [- ]) Y. {9 N1 ~: r第八步：针对线性核进行优化
  ^- l; `( A; u7 W# y* I$ m5 _9 Q传统的 SMO 方法，是 SVM 的通用求解方法，然而针对线性核，就是：
K(xi, xj) = xi . xj
还有很多更高效的求解思路，比如 Pegasos 算法就用了一种类似随机梯度下降的方法，快速求 SVM 的解权重 w，如果你的样本适合线性核，使用一些针对性的非 SMO 算法可以极大的优化 SVM 求解，并且能处理更加庞大的数据集，LIBLINEAR 就是做这件事情的。
( w$ v: y, \/ i" j" d, C' T& i同时这类算法也适合 online 训练和并行训练，可以逐步更新增量训练新的样本，还可以用到多核和分布式计算来训练模型，这是 SMO 算法做不到的地方。
但是如果碰到非线性核，权重 w 处于高维核空间里（有可能无限维），你没法梯度下降迭代 w，并且 pegasos 的 pdf 里面也没有提到如何用到非线性核上，LIBLINEAR 也没有办法处理非线性核。
# u& g" }: _/ l! i或许哪天出个数学家又找到一种更好的方法，可以用类似 pegasos 的方式求解非线性核，那么 SVM 就能有比较大的进展了。
- e0 }* V1 g3 V, |3 d后话
上面八条，你如果实现前三条，基本就能深入理解 SVM 的原理了，如果实现一大半，就可以得到一个类似 libsvm 的东西，全部实现，你就能得到一个比 libsvm 更好用的 SVM 库了。
上面就是如何实现一个相对成熟的 SVM 模型的思路，以及配套优化方法，再往后还有兴趣，可以接着实现支持向量回归，也是一个很有用的东西。
3 @; O) g: g! Q3 A6 V# W' z
来源：http://www.yidianzixun.com/article/0Lv0UIiC
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